Calculus

Introduction to basic conception The Continuum of Numbers 首先，自然数可以认为是与生俱来的，但是普通的四则运算所产生的结果却不一定是自然运算，比如$1 - 1 = 0$ , $1 - 2 = -1$ , $1\div2 =\frac{1}{2}$都产生了结果不是自然数的情况。为了满足四则运算能更方便的使用，便引入了$0$ 、分数和负数，即有理数。 有理数的引入使得四则运算的适用范围更广，但有理数是否就能表示生活中所有能见到的物体的度量呢？答案是否定的，比如两个直角边都为1的直角三角形，根据毕达哥拉斯定理，其斜边的平方为$c^2 = 1^2 + 1^2$，但我们无法找到一个有理数，使得其平方为$2$，所以，有理数并不能满足所有的计算。 Real Number and Nested Interval 现在我们用数轴上的点来当作Continuum of Numbers的基本元素，其中每个点都对应一个实数x, 实数之间的大小关系就是其在数轴上的位置关系，比如x在y左边则$x < y$. 我们已经知道有理数可以用两个整数p和q的商$\frac{p}{q}$来定义，那该如何用已知的有理数或者自然数来定义无理数呢？数学中常用的一种做法是渐进，即找一个无限接近目标的序列，其项数越多，误差就越小。为了取得无理数x的渐进值，我们需要从两边同时靠近它(只考虑一边的话便没有终止条件)，即在其他左右两边各取一个有理数，比如$a_1$和$b_1$, 且$a_1 < x$,$b_1 > x$, 这样，就选取了一个包含x的区间$[a_1, b_1]$。然后，将$[a_1, b_1]$对半分，取其中包含x的区间$[a_2, b_2]$，则$a_1 \le a_2 < x$, $x < b_2 \le b_1$。同样的，我们可以继续二分$[a_2, b_2]$，并不断重复下去，则可以得到任意个包含x的区间，且$[a_n, b_n]$包含于$[a_{n+1}, b_{n+1}]$，我们称这样一个区间序列为嵌套区间 。很显然，每个区间与x的误差不超过$|b_n - a_n|$。 小数 在前面的嵌套区间中，$a_n < x < b_n$。现在将数轴按以1为单位标记，然后将每个单位长度区间10等分。假设$0 \le x \le 1$，且x肯定在$[0, 1]$区间10等分后的某个小区间中，假设为$[\frac{a_1}{10},\frac{b_1}{10}]$，则$\frac{a_1}{10} \le x \le \frac{b_1}{10}$。接下来将$[\frac{a_1}{10}, \frac{b_1}{10}]$继续10等分，则会有 ...